1595.69 の平方根を求めよ。

Step-by-step solution

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   答えを 2 つの整数で挟む。 $39^2=1521$、$40^2=1600$ であり、$1595.69$ はその間——しかも $1600$ にずっと近いところ——にあるので、平方根は $40$ をわずかに下回る。

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   40 との差を使って精度を上げる。 平方根を $40-d$ と書く。すると $(40-d)^2=1600-80d+d^2$ であり、これが $1595.69$ に等しいことが必要なので $80d-d^2=4.31$ となる。ごく小さい $d^2$ を無視すると $d\approx\tfrac{4.31}{80}=0.0539$ となり、平方根はおよそ $40-0.0539=39.946$ である。

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   厳密な平方を計算して小数第 2 位まで挟む。 $(40-t)^2=1600-80t+t^2$ を使って丁寧に計算する。

   $39.94^2=1600-4.8+0.0036=1595.2036,\qquad 39.95^2=1600-4+0.0025=1596.0025$

   $1595.2036<1595.69<1596.0025$ なので、平方根は**$39.94$ と $39.95$ の間**にある。

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   しばしば誤って引用される挟み込みを正す。 解説によっては $39.95^2$ を $1595.0025$、$39.96^2$ を $1595.8016$ とする値が現れるが、いずれもちょうど $1$ だけ小さい。正しい値は $1596.0025$ と $1596.8016$ であり、だからこそ正しい挟み込みは $[39.95,39.96]$ ではなく $[39.94,39.95]$ になる。

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   小数第 4 位までの値を示す。

   $\sqrt{1595.69}=39.9460887\ldots\approx39.9461$

   これは修正した挟み込みの中に収まっており ✓、ステップ 2 の一次近似 $39.946$ とも一致する ✓。

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   2 乗し戻して検算する。 $39.9461^2=1595.6909$ で、$1595.69$ を $0.0009$ だけ上回る。$39.946^2=1595.6829$ で、$0.0071$ だけ下回る。したがって小数第 4 位までの丸めとしては $39.9461$ のほうが良い ✓。この値は無理数である。$\sqrt{1595.69}=\tfrac{\sqrt{159569}}{10}$ であり、$159569$ は素数なので平方数であるはずがなく、厳密な小数表示は存在しない。