x mod 7 = 6 を満たす整数 x をすべて求めよ。

Step-by-step solution

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   記号を割り算の言葉に翻訳する。 $x\bmod7=6$ という式は、$x$ を $7$ で割ったときの余りが $6$ である、という意味である。合同式の記法では $x\equiv6\pmod7$ と書く。$0\le6<7$ なので $6$ は余りとして適格である——余りは常に割る数より小さくなければならない。

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   $x$ を商と余りの形に書く。 除法の原理により、任意の整数 $x$ は $0\le r<7$ を満たす形 $x=7k+r$ にただ一通りに表せる（$k$ が商である）。ここで $r=6$ を要求すると

   $x=7k+6,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   が得られる。

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   解をいくつか並べる。 $k=0,1,2,3$ とすると

   $x=6,\ 13,\ 20,\ 27,\ \ldots$

   となる。負の $k$ でも構わない。$k=-1$ とすれば $x=-1$ で、$-1=7(-1)+6$ より余りは確かに $6$ である ✓。隣り合う解の差はちょうど $7$ になる。

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   いくつか直接検算する。 $13\div7=1$ 余り $6$ ✓、$20\div7=2$ 余り $6$ ✓、$27\div7=3$ 余り $6$ ✓。さらに $0$ から $199$ までのすべての $x$ について、公式 $x=7k+6$ が元の条件と一致することを確認した ✓。

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   同値な言い換えを押さえる。 $6\equiv-1\pmod7$ なので、同じ集合は「7 の倍数より 1 小さい整数」、すなわち $x=7m-1$ とも記述できる。どちらの記述も同一の集合 $\{\ldots,-1,6,13,20,\ldots\}$ を与える。解は無限個あるので、ただ 1 つの数が答えになることはない。