3 桁の数の各位の数字がすべて異なる。同じ数字を逆順に並べた数を引くと 693 になる。このような数のうち最小のものを求めよ。

Step-by-step solution

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   2 つの数を位取りの形で書く。 各位の数字を $a$（百の位）、$b$（十の位）、$c$（一の位）とすると、もとの数は $100a + 10b + c$、逆順の数は $100c + 10b + a$ である。

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   引き算すると十の位が消えることを見る。

   $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a-c)$

   真ん中の数字は完全に打ち消し合う——この種の差は必ず $99$ の倍数であり、$b$ が影響することは決してない。

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   数字の差を求める。

   $99(a-c) = 693 \quad\Longrightarrow\quad a - c = \frac{693}{99} = 7$

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   数字の組を挙げ、百の位を最小に選ぶ。 $a, c \in \{0,\dots,9\}$ かつ $a - c = 7$ なので、候補は $(a,c) = (7,0), (8,1), (9,2)$ である。数を最小にするには百の位をできるだけ小さくするので、$a = 7$、$c = 0$ を取る。

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   許される最小の十の位を選ぶ。 数は $7b0$ の形であり、3 つの数字はすべて異なる必要があるので $b \ne 7$ かつ $b \ne 0$ である。残る中で最小の選び方は $b = 1$ で

   $710$

   が得られる。

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   検証する。 $710$ の逆順は $017 = 17$ であり $710 - 17 = 693$ である。数字 $7, 1, 0$ は互いに異なる。これより小さい候補では $a \le 6$ となるが、$c \ge 0$ である以上 $a - c = 7$ は不可能である。また $700$ は数字が重複しており、$7b0$ の形で次に来るのが $710$ である。