(a) (8^(1/3) × 0.333... - 30^(-1)) / (3^(1/2) × 3^(1.5/3) - 1/15) と (b) (2.1333... / (5^(-3) + 1/3))^(-3/2) を、既約分数で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   指数に手をつける前に、循環小数をすべて分数に直す。 純循環小数では $x=0.333\ldots$ と置くと $10x=3.333\ldots$ で、辺々引くと $9x=3$、よって $x=\frac39=\frac13$ である。どちらの書き方も同じ数で、$\frac39$ は単に既約でないだけである。

   $2.133\ldots$ では循環する部分が固定された1桁の後から始まるので、2つの倍率を使う。$y=0.1333\ldots$ とすると $100y-10y=13.33\ldots-1.33\ldots=12$ なので $y=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$ となり、

   $2.133\ldots=2+\frac{2}{15}=\frac{32}{15}$

   である。非常によくある落とし穴を1つ挙げておく：$0.0333\ldots=\frac{1}{30}$ であって、$\frac{3}{9}$ ではない。循環部分を1桁右にずらすと、値は $10$ で割られる。

2. 2

   (a) の有理数指数を整理する。 $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2$ であり、$1{,}5=\frac32$ なので $\frac{1{,}5}{3}=\frac12$ となり、

   $3^{\frac12}\times3^{\frac12}=3^{\frac12+\frac12}=3^{1}=3$

   底が同じなら指数を足せる。この分母が整数に潰れるのはそのためである。

3. 3

   (a) の分子と分母を別々に計算する。

   $\text{分子}=2\cdot\frac13-\frac{1}{30}=\frac{20}{30}-\frac{1}{30}=\frac{19}{30}$

   $\text{分母}=3-\frac{1}{15}=\frac{45}{15}-\frac{1}{15}=\frac{44}{15}$

   $\frac{19/30}{44/15}=\frac{19}{30}\times\frac{15}{44}=\frac{19}{2\cdot44}=\frac{19}{88}$

4. 4

   (b) の内側の分数を組み立てる。 $5^{-3}=\frac{1}{125}$ なので、

   $5^{-3}+\frac13=\frac{3}{375}+\frac{125}{375}=\frac{128}{375}$

   $\frac{32/15}{128/375}=\frac{32}{15}\times\frac{375}{128}=\frac{32\times25}{128}=\frac{25}{4}$

   数値は、ここで平方数どうしの分数になるように選ばれている。それが次の手順への手がかりである。

5. 5

   負の分数指数を適用する。 負の指数は分数をひっくり返し、指数 $\frac32$ は「平方根を取ってから3乗する」ことを意味する：

   $\left(\frac{25}{4}\right)^{-\frac32}=\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac32}=\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\right]^{\frac32}=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}$

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   両方の答えを小数で確認する。 $\frac{19}{88}=0.2159\ldots$ で、直接計算しても $\frac{0.6333}{2.9333}=0.2159$ である。(b) では $\frac{8}{125}=0.064$ で、$6.25^{-1.5}=0.064$ となる。どちらも一致する。