サマーキャンプに男子 54 人と女子 48 人がいる。どのグループも男子の人数が同じ、女子の人数も同じになり、全員がどこかのグループに入るように分ける。グループ数の最大はいくつか。

Step-by-step solution

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   条件を割り切れる関係に翻訳する。 グループ数を $g$、1 グループあたりの男子を $b$ 人、女子を $h$ 人とすると $gb=54$ かつ $gh=48$ である。つまり $g$ は $54$ と $48$ の両方を割り切らねばならない——グループ数は公約数であり、「できるだけ多く」とは最大公約数を意味する。

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   両方の総数を素因数分解する。

   $54=2\times 3^3,\qquad 48=2^4\times 3$

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   共通する素因数ごとに小さいほうの指数を取る。 共通の素因数は $2$ と $3$ である。

   $\gcd(54,48)=2^{\min(1,4)}\times 3^{\min(3,1)}=2\times 3=6$

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   実際に分けられることを確認する。 $g=6$ のとき

   $\frac{54}{6}=9\ \text{人（男子／グループ）},\qquad \frac{48}{6}=8\ \text{人（女子／グループ）}$

   となる。どちらも整数であり、$6\times 9=54$、$6\times 8=48$ なので余る人はいない。

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   $7$ 以上のグループ数が不可能であることを確かめる。 $54$ の約数は $1,2,3,6,9,18,27,54$、$48$ の約数は $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$ である。共通の約数は $1,2,3,6$ だけなので $6$ が本当に最大であり、それを超える数はどちらかの総数を割り切れない。別の確認として、ユークリッドの互除法では $54=48+6$、$48=8\times 6+0$ より $\gcd=6$ となる。