あるリボンはちょうど 9 cm ずつにも、ちょうど 12 cm ずつにも切り分けられる。リボンの最短の長さはいくらか。

Step-by-step solution

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   文章を割り切れる関係に翻訳する。 「9 cm ずつちょうど切れる」とは長さ $L$ が $9$ の倍数であること、「12 cm ずつちょうど切れる」とは $L$ が $12$ の倍数であることを意味する。したがって $L$ は $9$ と $12$ の公倍数であり、「最短」なのでそれは最小公倍数である——最大公約数ではない。ここが典型的な取り違えである。

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   両方の数を素因数分解する。

   $9=3^2,\qquad 12=2^2\times 3$

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   各素因数について最も高い冪を取る。 最小公倍数では、どちらかに現れる素因数それぞれについて大きいほうの指数を残す。$12$ から $2^2$、$9$ から $3^2$ である。

   $\operatorname{lcm}(9,12)=2^2\times 3^2=4\times 9=36$

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   両方の割り算が整数になることを確かめる。

   $36\div 9=4\ \text{本},\qquad 36\div 12=3\ \text{本}$

   どちらも整数なので、$36$ cm は確かに条件を満たす。

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   これより短いものがないことを確認する。 $36$ より小さい $12$ の倍数は $12$ と $24$ だが、どちらも $9$ で割り切れない（$12\div9$ も $24\div9$ も整数にならない）。よって $36$ cm が最短のリボンである ✓。