45 で割り切れる最大の 6 桁の回文数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   一般の6桁回文数を書く。 数字の並びは$abccba$の形なので、

   $N=\overline{abccba},\qquad a\neq 0$

   自由に選べるのは$a$、$b$、$c$の3つだけであり、6つではない。

2. 2

   45 を互いに素な因数に分ける。 $45=9\times 5$で$\gcd(9,5)=1$なので、この数は$9$でかつ$5$で割り切れなければならない。これが数字についての2つの独立な条件を与える。

3. 3

   5 で割り切れる条件から$a$を決める。 一の位は$0$か$5$でなければならない。回文数では一の位は最高位と等しく、6桁の数の最高位は$0$になれない。したがって

   $a=5,\qquad N=\overline{5bcc b5}$

4. 4

   9 で割り切れる条件から$b+c$を絞る。 各位の和は

   $5+b+c+c+b+5=10+2b+2c=2(b+c+5)$

   であり、これが$9$の倍数でなければならない。$\gcd(2,9)=1$なので因子$2$は落とせる：

   $b+c+5\equiv 0\pmod 9\ \Longrightarrow\ b+c\equiv 4\pmod 9$

   よって$b+c=4$または$b+c=13$（2桁の数字の和で到達できる値はこの2つだけ）である。

5. 5

   位の大きいほうから最大化する。 $a$は$5$に固定されているので、次に重い自由な桁は$b$であり、$b=9$と取る。すると$c\equiv 4-9\equiv 4\pmod 9$より$b+c=13$、すなわち$c=4$となる：

   $N=594495$

6. 6

   2つの条件を検証する。 各位の和は$5+9+4+4+9+5=36$であり$36=4\times 9$ $\checkmark$。一の位は$5$ $\checkmark$。直接割っても

   $594495\div 45=13211\quad\checkmark$

   となる。6桁の回文数を上から順に走査してもこれより大きいものは存在しないので、$594495$が答えである。