分数 3/5, 7/11, 11/17, 15/23, … は一定の規則に従う。後ろのほうの項の 1 つが A/305 であり、別の項が 1999/B である。A と B の最大公約数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分子と分母を 2 つの別々の数列として扱う。 分子は $3,7,11,15,\ldots$ と毎回 $4$ ずつ増える。分母は $5,11,17,23,\ldots$ と $6$ ずつ増える。どちらも等差数列なので、閉じた形をもつ：

   $\text{numerator}_n=3+4(n-1)=4n-1$

   $\text{denominator}_n=5+6(n-1)=6n-1$

   $n=4$ で抜き取り確認すると $4(4)-1=15$、$6(4)-1=23$ $\checkmark$。

2. 2

   分母が 305 になる項を特定する。

   $6n-1=305\ \Longrightarrow\ 6n=306\ \Longrightarrow\ n=51$

   $n$ が整数になったことが、$305$ が本当にこの数列に現れることの確認になる。その分子は

   $A=4(51)-1=203$

   である。

3. 3

   分子が 1999 になる項を特定する。

   $4n-1=1999\ \Longrightarrow\ 4n=2000\ \Longrightarrow\ n=500$

   $B=6(500)-1=2999$

4. 4

   共通因数があると決めつける前に、両方を素因数分解する。

   $203=7\times 29$

   $B=2999$ については、$\sqrt{2999}\approx 54.8$ までのすべての素数——$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53$——で試し割りしてもつねに余りが出るので、$2999$ は素数である。

5. 5

   最大公約数を求める。 $2999$ は素数なので、共通因数の候補は $1$ と $2999$ 自身だけだが、$2999\nmid 203$ である。ユークリッドの互除法でも確かめると：

   $2999=14\times 203+157,\quad 203=1\times 157+46,\quad 157=3\times 46+19$

   $46=2\times 19+8,\quad 19=2\times 8+3,\quad 8=2\times 3+2,\quad 3=1\times 2+1,\quad 2=2\times 1$

   $\gcd(203,2999)=1$

   となり、2 つの数は互いに素である。（$2999=29\times 103$ と書いて答えを $29$ としたくなるが、$29\times 103=2987$ であって $2999$ ではない。掛け戻して確かめる価値のある因数分解である。）