((1/0.02272) × 4) × (500/75) × (5000/590) を計算せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   丸め誤差が積み重ならないように段取りを決める。 4 つの因数のうち 3 つは有限小数にならない（$1/0.02272$、$500/75$、$5000/590$）。掛ける前にそれぞれを 4 桁や 5 桁に丸めてしまうと、小さな誤差まで一緒に掛け合わされてしまう。安全な段取りは、すべてを厳密な分数のまま保ち、最後の数値だけを丸めることである。

2. 2

   すべての因数を厳密な分数に直す。 $0.02272=\dfrac{2272}{100000}=\dfrac{71}{3125}$ と書けるので、

   $\frac{1}{0.02272}=\frac{3125}{71},\qquad \frac{500}{75}=\frac{20}{3},\qquad \frac{5000}{590}=\frac{500}{59}$

   となる。これらはすでに既約形である。$71$ と $59$ は素数なので、これ以上約分できる相手はない。

3. 3

   分数を一度にまとめて掛ける。

   $\frac{3125}{71}\cdot 4\cdot\frac{20}{3}\cdot\frac{500}{59}=\frac{3125\cdot 4\cdot 20\cdot 500}{71\cdot 3\cdot 59}=\frac{125000000}{12567}$

4. 4

   割り算は最後に 1 回だけ行う。

   $\frac{125000000}{12567}=9946.6857\ldots\approx 9946.69$

   丸めが入るのはこの 1 回の割り算だけなので、示した有効数字 6 桁はすべて信頼できる。

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   途中で丸めた場合と比べて被害を見る。 $44.0141\cdot 4=176.0564$ とし、続けて $6.6667$ と $8.4746$ を掛けると、丸めた計算の連鎖は $9946.77$ を与える。これは約 $0.08$ だけ大きく、相対誤差はおよそ $8\times 10^{-6}$ である。原因はすべて $5000/590=8.474576\ldots$ と $500/75=6.666\overline{6}$ を早い段階で打ち切ったことにある。それほど小さな誤差でも、すでに有効数字 6 桁目を壊し、小数第 2 位までの答えを動かしてしまう。正しい値は $9946.69$ である。