4^2^2^2 − 1 を計算せよ。

Step-by-step solution

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   まず計算の向きを決める——これで答えが変わる。 積み重なった指数は右結合である。$a^{b^{c}}$ は $a^{(b^{c})}$ の意味であって、$(a^{b})^{c}$ ではない。ここで左から右へ読むと $((4^{2})^{2})^{2}=4^{8}=65536$ となり、5 桁もずれてしまう。だから上から処理する。

2. 2

   塔の上のほうをつぶす。

   $2^{2}=4,\qquad\text{よって}\qquad 2^{2^{2}}=2^{4}=16$

   つまり底 $4$ の指数は $16$ であり、式は $4^{16}-1$ になる。

3. 3

   数を扱いやすくするため底を 2 のべきに書き直す。 $4=2^{2}$ なので、累乗の累乗の法則で指数が掛け算になる：

   $4^{16}=\left(2^{2}\right)^{16}=2^{32}=4\,294\,967\,296$

   $2^{32}$ だと気づくのが近道である——よく知られた定数なので、長い掛け算は要らない。

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   1 を引く。 この引き算は指数ではなく、べき全体にかかる：

   $4^{16}-1=4\,294\,967\,296-1=4\,294\,967\,295$

5. 5

   厳密に検証する。 Python の任意精度整数では $4^{(2^{(2^{2})})}-1=4294967295$ ✓、$2^{32}=4294967296$ ✓ となる。構造の確認として、$2^{32}-1$ は符号なし 32 ビット整数の最大値であり、$(2^{16}-1)(2^{16}+1)=65535\times65537$ と因数分解できる——ここでも 2 乗の差である。