分数 (2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸) / (2¹⁰ + 5 × 2⁹) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   べき乗を計算してしまわない。 $1024+512+256=1792$ を $1024+2560=3584$ で割ることもできるが、この問題の狙いは、指数が文字になっても通用する手法のほうにある。展開せずに因数分解する。

2. 2

   分子から 2 の最小のべきをくくり出す。 3 つの指数は $10,9,8$ なので、最小のべきは $2^{8}$ である：

   $2^{10}+2^{9}+2^{8}=2^{8}\left(2^{2}+2^{1}+1\right)=2^{8}(4+2+1)=7\cdot 2^{8}$

3. 3

   分母からも 2 の最小のべきをくくり出す。 ここでの指数は $10$ と $9$ なので、$2^{9}$ をくくり出す：

   $2^{10}+5\cdot 2^{9}=2^{9}\left(2+5\right)=7\cdot 2^{9}$

   係数 $5$ は自分の項に付いたままなので、括弧の中は $2+5=7$ になる。

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   共通の因数を約分する。 どちらの括弧からも $7$ が出てきており、2 のべきは指数の引き算になる：

   $\frac{7\cdot 2^{8}}{7\cdot 2^{9}}=\frac{2^{8}}{2^{9}}=2^{8-9}=2^{-1}=\frac{1}{2}$

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   数値で確認する。 $\dfrac{1792}{3584}=\dfrac{1}{2}$ がちょうど成り立ち、因数分解の結果と一致する。どちらの括弧にも $7$ が現れることが、この分数がこれほどきれいに潰れる理由である。