10^0.2 を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   小数の指数を分数に直す。 指数法則は分数の形で述べられているので、$0.2$ をその形に書き直す：

   $0.2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

   $\tfrac15$ まで約分することには意味がある——単位分数であることが分かり、それは余分なべきのない普通の累乗根に対応するからである。

2. 2

   分数の指数の法則を当てる。 正の底に対して $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ なので

   $10^{0.2}=10^{1/5}=\sqrt[5]{10}$

   となる。これが厳密な値である。5 乗すると $10$ になる数、ということである。

3. 3

   計算する前に見積もる。 $1^{5}=1$、$2^{5}=32$ なので答えは $1$ と $2$ の間にあり、$1.5^{5}\approx7.6$ が既に $10$ に近いことから $2$ よりずっと $1.5$ 寄りである。この挟み込みで大きな誤りは排除できる。

4. 4

   小数値を示す。

   $\sqrt[5]{10}\approx1.5848932$

   累乗し戻して確認すると $1.5848932^{5}=10.000000$ で 7 桁まで一致する ✓。また $10^{0.2}$ と $10^{1/5}$ の 2 通りの計算は機械精度で一致する ✓。

5. 5

   この定数が現れる場面。 $10^{0.2}$ は音響学における 3 分の 1 オクターブの刻み 2 つ分にあたる（1 刻みは $10^{1/10}$）。そしてその平方根である $10^{1/10}\approx1.2589$ は、電力で 1 デシベルにあたる倍率である。$\left(10^{0.2}\right)^{5}=10^{1}=10$ であること、つまりこの倍率 5 つ分でちょうど 1 桁になることも覚えておく価値がある。