a を定数として、y = 2x^2 - 21x + 64 と y = 3x + a のグラフがちょうど 1 点 (x, y) で交わる。x の値はいくらか。

Step-by-step solution

1. 1

   $y$ の 2 つの式を等しいとおく。 交点では、同じ $x$ に対して両方の曲線が同じ $y$ をとる。

   $2x^2 - 21x + 64 = 3x + a$

2. 2

   すべてを一方に集める。 $3x + a$ を引くと

   $2x^2 - 24x + (64 - a) = 0$

   となる。これは $x$ についての 2 次方程式で、定数項にまだ未知の $a$ が残っている。

3. 3

   「ちょうど 1 点」を判別式の条件に翻訳する。 2 次方程式がちょうど 1 つの（重）解をもつのは、判別式が 0 のとき、かつそのときに限る。$A = 2$、$B = -24$、$C = 64 - a$ として

   $B^2 - 4AC = (-24)^2 - 4(2)(64-a) = 576 - 512 + 8a = 8a + 64 = 0$

4. 4

   重解から $x$ を読み取る——これが近道である。 実は $a$ を求める必要は無い。判別式が 0 になるとき、重解は $x = -\dfrac{B}{2A}$、すなわち放物線 $2x^2-24x+(64-a)$ の頂点にあたる。

   $x = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

5. 5

   念のため $a$ も求めて確認する。 $8a + 64 = 0$ より $a = -8$ なので、2 次方程式は $2x^2 - 24x + 72 = 2(x-6)^2 = 0$ となり、重解 $x = 6$ が得られる ✓。

6. 6

   その点が両方のグラフ上にあることを確かめる。 放物線：$2(36) - 21(6) + 64 = 72 - 126 + 64 = 10$。直線：$3(6) + (-8) = 10$ ✓。唯一の交点は $(6, 10)$ なので $x = 6$ である。