等差数列について u_n − u_(n−1) = d は成り立つか。証明し、成り立たない場合も述べよ。

Step-by-step solution

1. 1

   一般項を思い出す。 初項 $u_{1}$、公差 $d$ の等差数列では

   $u_{n}=u_{1}+(n-1)d\qquad (n\ge 1)$

   が成り立つ。これは閉じた形であり、証明すべき主張はその中に隠れている漸化式の形である。

2. 2

   $n$ を $n-1$ に置き換えて前の項を書く。

   $u_{n-1}=u_{1}+\left((n-1)-1\right)d=u_{1}+(n-2)d\qquad (n\ge 2)$

   制限 $n\ge 2$ は重要である。添字が $1$ から始まる数列に $u_{0}$ は無い。

3. 3

   2 つの式を引く。 $u_{1}$ の項が打ち消し合い、$d$ の係数はちょうど 1 だけ違う。

   $u_{n}-u_{n-1}=\left[u_{1}+(n-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-2)d\right]=\left[(n-1)-(n-2)\right]d=d$

   よってこの等式はすべての $n\ge 2$ で成り立ち、答え $d$ は $n$ に依存しない——数列のどこでも間隔は同じである。

4. 4

   隣り合わない項に一般化する。 添字を任意にして同じ引き算をすると

   $u_{m}-u_{n}=\left[u_{1}+(m-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-1)d\right]=(m-n)d$

   が得られ、$u_{n}-u_{n-1}=d$ は $m=n$、$n\to n-1$ とした特別な場合になっている。

5. 5

   具体的な数列で確かめる。 $u_{1}=3$、$d=2$ とすると $u_{2}=5$、$u_{3}=7$、$u_{4}=9$ である。このとき $u_{4}-u_{3}=9-7=2=d$ ✓、$u_{4}-u_{2}=9-5=4=(4-2)d$ ✓。

6. 6

   逆と、成り立たない場合を述べる。 この等式は等差数列であることの単なる帰結ではなく、それを 特徴づける ものである。すべての $n$ で $u_{n}-u_{n-1}$ が同じ定数に等しければ、その数列は等差数列である。一般の数列では差が一定である必要はまったく無い。たとえば $u_{n}=n^{2}$ では $u_{n}-u_{n-1}=2n-1$ となり、$n$ とともに変わる。したがってこの公式は、数列が等差数列だと分かってから初めて使ってよい。