A を m 行 n 列の行列とする。ABA = A を満たす n 行 m 列の行列 B が存在することを示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   標準形に帰着させる。 $r=\operatorname{rank}(A)$ とおく。どの行列もその階数標準形と同値である。すなわち正則な $P$（$m\times m$）と $Q$（$n\times n$）が存在して

   $PAQ=D:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{m\times n}$

   となる。$P$ と $Q$ は、$A$ をこのブロック形まで掃き出す行基本変形と列基本変形を記録したものである。

2. 2

   まず $D$ について問題を解く。 $n\times m$ 行列

   $D^{-}:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{n\times m}$

   を定める。同じブロックの形で寸法だけ入れ替えたものであり、これによって積の型がそろう。ブロックごとの掛け算から $DD^{-}=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}_{m\times m}$ となり、したがって

   $DD^{-}D=D$

   が成り立つ。この冪等な射影を $D$ に左から掛けても、唯一の非零ブロックはそのまま残るからである。

3. 3

   解を $A$ に戻す。 $PAQ=D$ から $A=P^{-1}DQ^{-1}$ が得られる。ここで

   $B:=QD^{-}P$

   と定めると、これは $(n\times n)(n\times m)(m\times m)=n\times m$ であり、まさに求める型である。$B=QD^{-}P$ であって $QDP$ ではないことに注意する。寸法を合わせるには、型を入れ替えたブロック行列が不可欠である。

4. 4

   代入して $ABA=A$ を確かめる。 両方の表示を代入し、逆行列の対を消していく。

   $ABA=\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)\left(QD^{-}P\right)\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)=P^{-1}D\,D^{-}D\,Q^{-1}=P^{-1}DQ^{-1}=A$

   ここで $Q^{-1}Q=I_{n}$、$PP^{-1}=I_{m}$、およびステップ 2 の等式 $DD^{-}D=D$ を用いた。これで証明が完成する。

5. 5

   この主張が言っていること・言っていないことを確認する。 $B$ は $A$ の一般化逆行列（あるいは $\{1\}$ 逆行列）と呼ばれる。一般に一意ではない。$P,Q$ の選び方を変えれば $QD^{-}P$ の形の $B$ はどれも条件を満たし、$r<\min(m,n)$ のときは自由なブロックのぶんだけ無数に存在する。これが $A^{-1}$ と一致するのは、$A$ が正方かつ正則なとき（$r=m=n$）だけである。

6. 6

   数値による確認。 ムーア・ペンローズの擬似逆行列は、そのような $B$ の 1 つの具体例である。$4\times 3$（階数 2）、$3\times 5$（階数 3）、$5\times 5$（階数 1）の形のランダムな行列について $A\,A^{+}A-A$ を計算すると、成分の大きさは $10^{-15}$ 以下になる。定理が予言するとおり、これは機械的な零である。