複素数 z = a + bi が (a + bi)^2025 = (a - bi)^2025 を満たす。この条件は z について何を意味するか。

Step-by-step solution

1. 1

   右辺を共役として書き直す。 $a-bi=\overline{z}$ であり、共役はべき乗と可換なので $\overline{z}^{\,2025}=\overline{z^{2025}}$ である。したがって仮定は

   $z^{2025}=\overline{z^{2025}}.$

   と述べている。この書き換えだけがこの問題の核心である。この方程式は実は $z$ についてのものではなく、数 $w=z^{2025}$ についてのものなのである。

2. 2

   $w=\overline{w}$ が実数であることの特徴づけだという事実を使う。 $w=u+vi$ と書くと、方程式 $w=\overline{w}$ から $u+vi=u-vi$、すなわち $2vi=0$ となり $v=0$ である。よって条件はちょうど

   $z^{2025}\in\mathbb{R}.$

   である。平たく言えば、$a+bi$ の 2025 乗が実数であるということである。

3. 3

   極形式に直して、どんな $z$ が該当するかを見る。 $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ として $z=re^{i\theta}$ と書く。すると $\overline{z}=re^{-i\theta}$ であり、ド・モアブルの定理より

   $z^{2025}=r^{2025}e^{i\,2025\theta},\qquad \overline{z}^{\,2025}=r^{2025}e^{-i\,2025\theta}.$

   となる。$r=0$、すなわち $a=b=0$ なら両辺とも $0$ で、条件は自明に成り立つ。

4. 4

   $z\neq 0$ について角の方程式を解く。 $r^{2025}\neq 0$ を約分すると $e^{i2025\theta}=e^{-i2025\theta}$、すなわち $e^{i4050\theta}=1$ が残るので

   $4050\theta=2k\pi\;\Longrightarrow\;\theta=\frac{k\pi}{2025},\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   これは $\sin(2025\theta)=0$ と同じことであり、$z^{2025}$ の虚部が消えるという主張にほかならない。絶対値 $r$ にはまったく制約がつかない点に注目したい——効くのは $z$ の向きだけである。

5. 5

   解集合を幾何的に記述する。 条件を満たす $z$ は原点を通る $2025$ 本の直線（各直線が $4050$ 個の角 $k\pi/2025$ のうち 2 つを担う）と、原点そのものからなる。直線どうしの間隔は $\pi/2025=180^{\circ}/2025$ である。実軸（$k=0$）は含まれるが、純虚数の場合が含まれるのは $\theta$ が $\pi/2025$ の整数倍であるときだけであり、$2025$ は奇数なので $\theta=\pi/2$ はその形 ではない。よって $z=i$ は条件を満たさない。実際 $i^{2025}=i$ であるのに対し $(-i)^{2025}=-i$ である ✓。