x1 と x2 が x^2 + 3x - 5 = 0 の解であるとき、x1 + x2 - x1*x2 の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   解の対称式であることを見抜く。 $x_1 + x_2 - x_1x_2$ は解の和と積だけから作られているので、解と係数の関係で直接答えが出る。2 次方程式を解く必要はなく、解こうとすれば無理数を引きずることになる。

2. 2

   解と係数の関係を書き出す。 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して

   $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2 = \frac{c}{a}$

3. 3

   係数を代入する。 ここでは $a = 1$、$b = 3$、$c = -5$ なので

   $x_1 + x_2 = -\frac{3}{1} = -3, \qquad x_1x_2 = \frac{-5}{1} = -5$

4. 4

   組み合わせる。

   $x_1 + x_2 - x_1x_2 = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2$

   負の積を引く箇所で符号を取り違えると、答えが $-8$ になってしまう。

5. 5

   実際の解で検証する。 判別式は $9 + 20 = 29$ なので $x_{1,2} = \tfrac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$、数値では $1.192582$ と $-4.192582$ である。和は $-3.000000$、積は $-4.999998$ となり、$-3 + 5 = 2$ が期待どおり得られる。