連立方程式 x + y = z、9.5 − 25.33333x − 55z = 0、3.5 − 3y − 55z = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   後の 2 式を標準形に直す。 定数を右辺に移すと

   $25.33333x + 55z = 9.5, \qquad 3y + 55z = 3.5$

   となる。これで未知数が左辺にそろい、与えられたままの混ざった符号で作業するより、消去の帳簿づけがはるかに間違いにくくなる。

2. 2

   1 つ目の式を使って z を消す。 それぞれに $z = x + y$ を代入すると

   $25.33333x + 55(x+y) = 9.5 \ \Longrightarrow \ 80.33333x + 55y = 9.5$

   $3y + 55(x+y) = 3.5 \ \Longrightarrow \ 55x + 58y = 3.5$

   となる。$z = x + y$ を 3 行目としてではなく代入として使うことが、この問題を $2\times 2$ に保っている。

3. 3

   2 元の連立を解く。 2 つ目の式から $x = \dfrac{3.5 - 58y}{55}$ である。これを 1 つ目に代入して全体を $55$ 倍すると

   $80.33333(3.5 - 58y) + 3025y = 522.5$

   $281.16666 - 4659.3331y + 3025y = 522.5 \ \Longrightarrow \ -1634.3331y = 241.33334$

   となる。

4. 4

   y、次に x、次に z を求める。

   $y = \frac{241.33334}{-1634.3331} \approx -0.147665$

   $55x = 3.5 - 58(-0.147665) = 12.06457 \ \Longrightarrow \ x \approx 0.219356$

   $z = x + y \approx 0.219356 - 0.147665 = 0.071691$

   全体を通して有効数字 6 桁を保つこと。係数 $1634.33$ が大きいので、$y$ を早い段階で丸めると $x$ の 4 桁目に影響が出る。

5. 5

   循環小数に気づいて厳密解を得る。 係数 $25.33333$ はほぼ確実に $\tfrac{76}{3} = 25.\overline{3}$ である。厳密な分数で消去をやり直すと

   $x = \frac{2151}{9806}, \qquad y = -\frac{724}{4903}, \qquad z = \frac{703}{9806}$

   となり、値は $0.2193555$、$-0.1476647$、$0.0716908$ ——小数解と 6 桁まで一致する。

6. 6

   3 式すべてで検算する。 $x = 0.219356$、$y = -0.147665$、$z = 0.071691$ とすると、$x + y = 0.071691 = z \ \checkmark$、$9.5 - 25.33333(0.219356) - 55(0.071691) = 9.5 - 5.5570 - 3.9430 \approx 0 \ \checkmark$、$3.5 - 3(-0.147665) - 55(0.071691) = 3.5 + 0.4430 - 3.9430 \approx 0 \ \checkmark$ である。