x, y, z, w について解け：(1/3)x − (1/3)y = −1、−(1/3)x + (1/2)y = −w、(1/3)z = w、x = 30 + z。

Step-by-step solution

1. 1

   1 つ目の式の分数を払う。 $3$ を掛けると：

   $x - y = -3 \ \Longrightarrow \ y = x + 3$

   未知数 4 つの 4 式は手ごわく見えるが、そのうち 2 式（$\tfrac13 z = w$ と $x = 30 + z$）はすでに明示的な代入式なので、実際の手間は小さい。

2. 2

   すべてを z で表す。 $x = 30 + z$ と $y = x + 3$ から：

   $x = 30 + z, \qquad y = 33 + z, \qquad w = \frac{z}{3}$

   これでどの未知数も 1 つの文字 $z$ の関数になった。まだ使っていないのは 2 つ目の式だけであり、それが $z$ を確定させる。

3. 3

   残った式に代入する。

   $-\frac{1}{3}(30 + z) + \frac{1}{2}(33 + z) = -\frac{z}{3}$

   $-10 - \frac{z}{3} + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = -\frac{z}{3}$

4. 4

   打ち消して z を求める。 $-\frac{z}{3}$ は両辺にまったく同じ形で現れるので打ち消し合い、残るのは

   $-10 + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{z}{2} = 10 - \frac{33}{2} = -\frac{13}{2} \ \Longrightarrow \ z = -13$

   である。4 式すべてにわたる消去をせずに 1 行で解けるのは、この打ち消しのおかげである。

5. 5

   残り 3 つの未知数に代入し直す。

   $x = 30 + (-13) = 17, \qquad y = 33 + (-13) = 20, \qquad w = \frac{-13}{3} = -\frac{13}{3}$

6. 6

   4 つの式すべてを検算する。 $\tfrac13(17) - \tfrac13(20) = -1 \ \checkmark$、$-\tfrac13(17) + \tfrac12(20) = -\tfrac{17}{3} + 10 = \tfrac{13}{3} = -w \ \checkmark$、$\tfrac13(-13) = -\tfrac{13}{3} = w \ \checkmark$、$30 + (-13) = 17 = x \ \checkmark$。4 つとも厳密に成り立つ。