連立方程式 x + y − 3z = 0、2x(6 − x) + 4y(3 − y) + 6z(0.5 − z) = 0、x² + 2y² + 3z² = 21 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   真ん中の式を展開し、1 次の部分と 2 次の部分に分ける。

   $12x - 2x^2 + 12y - 4y^2 + 3z - 6z^2 = 0$

   $\Longrightarrow \ 12x + 12y + 3z = 2x^2 + 4y^2 + 6z^2$

   2 次の側はちょうど $2\left(x^2 + 2y^2 + 3z^2\right)$ ——3 つ目の式に現れるのとまったく同じ組み合わせである。この一致こそがこの問題の狙いである。

2. 2

   3 つ目の式を代入して 2 次の項をすべて消す。 $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21$ なので

   $12x + 12y + 3z = 2(21) = 42$

   となる。非線形に見えた式が 1 次式になった。

3. 3

   1 つ目の式を使って z だけの式にする。 $x + y = 3z$ より

   $12(3z) + 3z = 42 \ \Longrightarrow \ 39z = 42 \ \Longrightarrow \ z = \frac{42}{39} = \frac{14}{13}$

4. 4

   y だけの二次方程式に帰着させる。 $z = \tfrac{14}{13}$ とすると $x + y = 3z = \tfrac{42}{13}$ であり

   $3z^2 = 3\cdot\frac{196}{169} = \frac{588}{169}, \qquad x^2 + 2y^2 = 21 - \frac{588}{169} = \frac{3549 - 588}{169} = \frac{2961}{169}$

   となる（$21 \times 169 = 3549$ である。ここで $3559$ としてしまうと、その誤りが解にまで波及する）。$x = \tfrac{42}{13} - y$ を代入して全体を $169$ 倍すると

   $1764 - 1092y + 507y^2 = 2961 \ \Longrightarrow \ 507y^2 - 1092y - 1197 = 0$

   となる。

5. 5

   二次方程式を解く。 $3$ で割ると $169y^2 - 364y - 399 = 0$ で、判別式は

   $364^2 + 4(169)(399) = 132496 + 269724 = 402220 = 26^2 \cdot 595$

   なので

   $y = \frac{364 \pm 26\sqrt{595}}{338} = \frac{14 \pm \sqrt{595}}{13}$

   となる。判別式は平方数ではないので（$595 = 5 \cdot 7 \cdot 17$）解は無理数である。$7/13$ のようなきれいな分数で書かれた答えはどれも誤りである。

6. 6

   x を復元し、2 つの解を検証する。 $x = \tfrac{42}{13} - y = \dfrac{28 \mp \sqrt{595}}{13}$ なので、2 つの解は

   $\left(\frac{28 - \sqrt{595}}{13},\ \frac{14 + \sqrt{595}}{13},\ \frac{14}{13}\right) \approx (0.27749,\ 2.95328,\ 1.07692)$

   $\left(\frac{28 + \sqrt{595}}{13},\ \frac{14 - \sqrt{595}}{13},\ \frac{14}{13}\right) \approx (4.03020,\ -0.79943,\ 1.07692)$

   である。どちらの組を元の 3 式すべてに代入しても、残差は $10^{-14}$ を下回る。