連立不等式 x > m + 2 かつ -2x - 1 ≥ 4m + 1 が解を持たず、方程式 x + m - 2 = 2 - x が非負整数解を持つとき、両方を満たす整数 m の総和を求めよ。

Step-by-step solution

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   2 つ目の不等式を x について解く。 $-2x-1\ge 4m+1$ から $-2x\ge 4m+2$ が得られる。負の数 $-2$ で割るので不等号の向きが反転し、$x\le -2m-1$ となる。

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   「解を持たない」を m の条件に翻訳する。 この連立は $x>m+2$ と $x\le -2m-1$ を同時に要求している。そのような $x$ が存在しないのは、上限が下限より真に上にない場合、すなわち $-2m-1\le m+2$ のときちょうどである。これから $-3\le 3m$、すなわち $m\ge -1$ となる。

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   一次方程式を解く。 $x+m-2=2-x$ から $2x=4-m$ となり、$x=\frac{4-m}{2}$ である。

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   その解に「非負整数」という条件を課す。 非負であるためには $\frac{4-m}{2}\ge 0$、すなわち $m\le 4$ が必要である。整数であるためには $4-m$ が偶数、すなわち $m$ が偶数でなければならない。

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   3 つの条件の共通部分をとる。 整数の範囲で $m\ge -1$、$m\le 4$、$m$ は偶数を組み合わせると $m\in\{0,2,4\}$ が残る。

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   残った候補を 1 つずつ確かめる。 $m=0$：連立は $x>2$ かつ $x\le -1$（解なし）、方程式の解は $x=2$。$m=2$：$x>4$ かつ $x\le -5$（解なし）、解は $x=1$。$m=4$：$x>6$ かつ $x\le -9$（解なし）、解は $x=0$。3 つとも条件を満たし、$0+2+4=6$ となる。