不等式 (0.03y + 0.01)/0.03 − 1 < (0.7y − 0.3)/0.5 + 0.2(0.1y − 0.2)/0.15 を解き、y > ___ の形で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   左辺の商を項ごとに分ける。 小数の分母は、分子の項を 1 つずつ処理するのがいちばん楽である： $\frac{0.03y+0.01}{0.03}=\frac{0.03y}{0.03}+\frac{0.01}{0.03}=y+\frac13$。ここから $1$ を引くと、左辺は $y-\frac23$ になる。

2. 2

   0.5 の分母は 2 倍して払う。 $0.5$ で割ることは $2$ を掛けることなので、$\frac{0.7y-0.3}{0.5}=2(0.7y-0.3)=1.4y-0.6$ となる。逆数に気づくほうが、小数のまま割り算をするより速く、しかも安全である。

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   3 つ目の分数を簡単にする。 まず分子を展開して $0.2(0.1y-0.2)=0.02y-0.04$。次に分子と分母に $100$ を掛けて $\frac{0.02y-0.04}{0.15}=\frac{2y-4}{15}=\frac{2}{15}y-\frac{4}{15}$ を得る。

4. 4

   右辺の 2 つを分母 15 でそろえて足す。 $1.4=\frac{21}{15}$、$0.6=\frac{9}{15}$ と書き直すと $\frac{21}{15}y-\frac{9}{15}+\frac{2}{15}y-\frac{4}{15}=\frac{23}{15}y-\frac{13}{15}$ となる。

5. 5

   不等式全体を 15 倍する。 不等式はいま $y-\frac23<\frac{23}{15}y-\frac{13}{15}$ である。正の数 $15$ を掛けても向きは保たれる： $15y-10<23y-13$。

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   y を単独にする。 両辺から $15y$ を引き、$13$ を足すと $3<8y$、すなわち $y>\frac38$。正の数 $8$ で割るので、ここでも向きは変わらない。

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   境界を確かめる。 $y=\frac38$ では両辺とも $-\frac{7}{24}$ に等しいので、端点は除かれる。$y=0.385$ で試すと左辺 $=-0.2817$、右辺 $=-0.2763$ となり、$-0.2817<-0.2763$ は真である。解集合はこれで裏づけられた。