x²((8.9 − x)² − 64) = (71 × 8.9 − 79x)² を満たす実数 x をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   定数を片づけ、両辺を展開する。 まず $71\cdot 8.9=631.9$ である。左辺は

   $(8.9-x)^2-64=x^2-17.8x+79.21-64=x^2-17.8x+15.21$

   $\text{左辺}=x^2(x^2-17.8x+15.21)=x^4-17.8x^3+15.21x^2$

   となる。右辺は $79^2=6241$、$2(631.9)(79)=99840.2$、$631.9^2=399297.61$ より

   $\text{右辺}=6241x^2-99840.2x+399297.61$

   となる。

2. 2

   すべてを片側に寄せる。 左辺から右辺を引くと

   $x^4-17.8x^3+(15.21-6241)x^2+99840.2x-399297.61=0$

   $x^4-17.8x^3-6225.79x^2+99840.2x-399297.61=0$

   となる。これを $f(x)$ と呼ぶ。ここでは 2 乗の操作が最初から済まされている——問題そのものが 2 乗した形になっている——ので、この 4 次方程式の実数解はすべて真の解であり、捨てるべき無縁解は存在しない。

3. 3

   符号の変わり目を探して実数解を挟む。 いくつかの点で $f$ の値を求めると

   $f(-90)\approx 1.877\times 10^{7},\quad f(-80)\approx 1.842\times 10^{6},\quad f(-70)\approx -7.779\times 10^{6}$

   $f(0)=-399297.61,\quad f(80)\approx -410738,\quad f(81)\approx 427422$

   となる。$-80$ と $-70$ の間に 1 回、$80$ と $81$ の間に 1 回、符号の変化がある。4 次式の実数解は高々 4 個で、最高次の係数は正なので、この 2 つの区間がそれぞれ解を 1 つずつ含んでいる。

4. 4

   2 つの解を精密化する。 それぞれの区間の内側でニュートン法を回すと

   $x_1\approx -78.5149849012,\qquad x_2\approx 80.4985052279$

   に収束する。$x^2((8.9-x)^2-64)-(631.9-79x)^2$ に代入し戻すと残差の絶対値は $10^{-7}$ を下回るので、どちらも真の解である。

5. 5

   他に実数解がないことを示す——ここが肝心な手順である。 区間 $[0,80]$ の全体で、この 4 次式は決して正にならない。その範囲での最大値は $x\approx 7.909$ の付近でとる約 $-3992$ である。この区間を通して $f<0$ なので、解がその中に隠れていることはあり得ない。$x<-78.51$ と $x>80.50$ では 4 次式は絶対値を増しながら正のままであり、$(-78.51,0)$ では負のままである。したがって実数解はちょうど2 個であり、残る 2 個は共役な複素数 $7.90824\pm 0.79772i$ である。

6. 6

   もっともらしい「解が 4 つ」という答えに注意する。 よく出回っている解答は $x\approx-86.19,\ 6.9982,\ 8.9387,\ 88.055$ を挙げている。真ん中の 2 つを直接試すと $f(6.9982)\approx -9205$、$f(8.9387)\approx -10628$ で、どちらも 0 からはるかに遠い。$[0,80]$ での上限が予告していたとおりである。4 次方程式に実数解が 4 つあると報告されているときは、必ず少なくとも 1 つを代入し戻すこと。区間全体での $f$ の符号は、最も安上がりな反証である。