方程式 71 × 8 = 71(8.9 − x) − x × √((8.9 − x)² − 64) を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   根号の中身が因数分解されるように $u=8.9-x$ と置く。 式 $(8.9-x)^2-64$ は $u$ についての 2 乗の差である。$u=8.9-x$（したがって $x=8.9-u$、また $71\cdot 8=568$）とすると方程式は

   $568=71u-(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$

   $71(u-8)=(8.9-u)\sqrt{(u-8)(u+8)}$

   になる。$568$ を $71\cdot 8$ と書くことが左辺を因数分解させる。この方程式がきれいな解をもつ理由はまさにそこにある。

2. 2

   定義域を固め、一方の枝をただちに潰す。 根号には $u^2\ge 64$、すなわち $u\ge 8$ または $u\le -8$ が必要である。

   $u\le -8$ のとき、左辺の $71(u-8)$ は負である一方、右辺の $(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$ は正の因数 $8.9-u>0$ と 0 以上の根号の積なので $\ge 0$ である。ここに解はない。これは $x\ge 16.9$ をすべて除くことにもなる。

   よって $u\ge 8$、すなわち $x\le 0.9$ である。この枝では左辺が $\ge 0$ なので $x=8.9-u\ge 0$ も必要になり、探索範囲は $0\le x\le 0.9$ に狭まる。

3. 3

   $w=u-8\ge 0$ と置いて境界の解を読み取る。 このとき $8.9-u=0.9-w$ となり

   $71w=(0.9-w)\sqrt{w(w+16)}$

   である。$w=0$ はこれをちょうど満たす。両辺とも $0$ になるからである。ここから $u=8$、すなわち

   $x=8.9-8=0.9$

   が得られる。もとの方程式で確かめると $71(8.9-0.9)-0.9\sqrt{8^2-64}=568-0=568$ ✓。これは純粋に数値的な解法がもっともよく見落とす解である。平方根が立ち上がる定義域のちょうど端に載っているからである。

4. 4

   $w>0$ の場合は 2 乗してから因数 $w$ で割る。 2 乗すると $5041w^2=(0.9-w)^2w(w+16)$ となり、$w>0$ で割ると

   $5041w=(w^2-1.8w+0.81)(w+16)=w^3+14.2w^2-27.99w+12.96$

   $w^3+14.2w^2-5068.99w+12.96=0$

   になる。その 3 つの解は $w\approx -78.6511$、$w\approx 0.00255674$、$w\approx 64.4486$ である。$0<w<0.9$ を満たすのは小さい正のものだけで、残りの 2 つは $0.9-w$ が負なのに $71w$ が正（またはその逆）になるので、2 乗が持ち込んだものである。

5. 5

   もとに戻して両方の答えを数値で確かめる。 $x=0.9-w$ より

   $x=0.9-0.0025567407\ldots=0.8974432593\ldots$

   である。もとの方程式に代入すると $71(8.0025567)-0.8974433\sqrt{8.0025567^2-64}=568.0000000$ となり、残差は計算機の精度で $0$ である。境界の解と合わせて

   $x=0.9\qquad\text{および}\qquad x\approx 0.8974432593$

6. 6

   よく出回る近道の答え $x\approx 0.797$ がなぜ誤りか。 ありがちな道筋は、先に 2 乗して 4 次式 $x^4-17.8x^3-5025.79x^2+9073.8x-4083.21$ を $(x^2+63.2x-63.9)(x^2-81x+63.9)$ と因数分解しようとするものである。この積を展開すると $x^2$ の係数は $-5119.2$ であって $-5025.79$ ではないので、その因数分解は端的に偽であり、そこから出る値 $0.7968$ と $0.9954$ は解ではない。$x=0.7968$ をもとの方程式に代入すると $568$ ではなく約 $574.30$ が返る。相方の値 $0.9954$ にいたっては定義域にすら入っていない。$(8.9-0.9954)^2-64\approx -1.52<0$ だからである。