(4√3 a + √3 a^2)^2 を展開せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗する前に共通部分をかっこの外にくくり出す。 どちらの項も $\sqrt3\,a$ を共有している。

   $4\sqrt3\,a+\sqrt3\,a^{2}=\sqrt3\,a\left(4+a\right).$

   根号を含む 2 項に $(u+v)^2$ の公式をそのまま当てはめるより、こちらのほうがはるかに見通しがよい。

2. 2

   くくり出した形を 2 乗する。 2 乗は積の各因子に分配される。

   $\left(\sqrt3\,a(a+4)\right)^{2}=\left(\sqrt3\right)^{2}a^{2}(a+4)^{2}=3a^{2}(a+4)^{2}.$

   根号を消しているのはまさにこの 2 乗である。$\left(\sqrt3\right)^2=3$ となる。

3. 3

   残った 2 乗を展開する。

   $(a+4)^{2}=a^{2}+8a+16.$

4. 4

   全体に 3a^2 を掛ける。

   $3a^{2}\left(a^{2}+8a+16\right)=3a^{4}+24a^{3}+48a^{2}.$

5. 5

   直接展開でも照合する。 $u=4\sqrt3 a$、$v=\sqrt3 a^2$ として $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$ を使うと

   $u^{2}=48a^{2},\qquad 2uv=2\cdot 4\sqrt3 a\cdot\sqrt3 a^{2}=24a^{3},\qquad v^{2}=3a^{4},$

   となり、合計は同じ $3a^4+24a^3+48a^2$ になる。真ん中の項からも根号が消えている点に注目したい。$\sqrt3\cdot\sqrt3=3$ だからである。