積 (x + 10)(x² − 10x + 100) を求め、答えを簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   掛ける前に形を見抜く。 3 乗の和の公式は

   $(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}.$

   である。問題と照合すると、$a=x$、$b=10$ として $a^2=x^2$、$-ab=-10x$、$b^2=100$ となり、どの項もぴたりと合う。

2. 2

   公式を適用する。

   $(x+10)\left(x^{2}-10x+100\right)=x^{3}+10^{3}=x^{3}+1000.$

3. 3

   遠回りに展開して検証する。 $x$、続いて $10$ を 3 項式に分配する：

   $x\left(x^{2}-10x+100\right)=x^{3}-10x^{2}+100x,$
   $10\left(x^{2}-10x+100\right)=10x^{2}-100x+1000.$

4. 4

   2 行を足し、中間の項が消えるのを見る。

   $x^{3}+\left(-10x^{2}+10x^{2}\right)+\left(100x-100x\right)+1000=x^{3}+1000.$

   この打ち消しは偶然ではない。3 項式の $-ab$ の項は、両方の中間の列がちょうど消えるように置かれている。

5. 5

   数値で抜き取り検査する。 $x=1$ のとき：$(11)(1-10+100)=11\cdot 91=1001=1^3+1000$。$x=-10$ のときは第 1 因子が $0$ であり、$(-10)^3+1000=0$ でもあるので、$x=-10$ が $x^3+1000$ の実数解であることが確かめられる。