x/(x - 2)^2 を部分分数に分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分子を分母の土台の形で書き直す。 分母は $x-2$ から組み立てられているので、分子の $x$ も同じ塊を使って表す。

   $x=(x-2)+2$

   これは恒等式なので、何も仮定していない。分子の組み替えをしただけである。

2. 2

   代入して 1 つの分数を 2 つに分ける。

   $\frac{x}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+2}{(x-2)^2}=\frac{x-2}{(x-2)^2}+\frac{2}{(x-2)^2}$

3. 3

   第 1 の分数を約分する。 $(x-2)$ が 1 つ約分される。

   $\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}$

   $\frac{x}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x-2)^2},\qquad x\neq 2$

4. 4

   代数的な方法と比べる。 $\tfrac{x}{(x-2)^2}=\tfrac{A}{x-2}+\tfrac{B}{(x-2)^2}$ とおくと $x=A(x-2)+B$ となり、$A=1$、$B=2$ ——同じ答えである。分子を書き換える手なら 1 行で到達できるので、分子が 1 次で分母が同じ 1 次因数の累乗になっているときには、この形を見抜けるようにしておきたい。

5. 5

   数値で検算する。 $x=4$ では左辺 $=\tfrac44=1$、右辺 $=\tfrac12+\tfrac24=1$ $\checkmark$。$x=0$ では左辺 $=0$、右辺 $=-\tfrac12+\tfrac24=0$ $\checkmark$。