(x + 1)/(x − 1)² を部分分数に分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   重なった因数に正しい型を選ぶ。 因数 $(x-1)^2$ には、最も高いべきだけでなく、重複度までの各べきに対する項が必要である：

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   $\tfrac{B}{(x-1)^2}$ だけにすると、1 次の分子に合わせるには未知数が足りない。

2. 2

   分母を払う。 両辺に $(x-1)^2$ を掛ける：

   $x+1=A(x-1)+B$

3. 3

   展開して $x$ のべきでまとめる。

   $x+1=Ax-A+B=Ax+(B-A)$

4. 4

   係数を比較する。 $x$ の係数から $A=1$、定数項から $B-A=1$ が得られるので、

   $B=1+A=2$

5. 5

   分解を書き下して確かめる。

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   通分し直すと $\tfrac{(x-1)+2}{(x-1)^2}=\tfrac{x+1}{(x-1)^2}$ $\checkmark$。数値では $x=3$ のとき：左辺 $=\tfrac44=1$、右辺 $=\tfrac12+\tfrac24=1$ $\checkmark$。