x^7 + x^5 + x^3 + x = 4.66 を満たす実数 x を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   実数解がちょうど 1 つであることを示す。 $f(x) = x^7 + x^5 + x^3 + x$ とおく。導関数は $f'(x) = 7x^6 + 5x^4 + 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$ で、これはすべての実数 $x$ で成り立つので、$f$ は $\mathbb{R}$ 全体で狭義単調増加である。狭義単調増加な連続関数は各値を高々 1 回しかとらず、$f \to \pm\infty$ であることから、ちょうど 1 回とる。因数分解をしなくても、答えが一意であることはこれで分かる。

2. 2

   解を範囲で挟む。

   $f(1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, \qquad f(1.1) = 1.948717 + 1.610510 + 1.331 + 1.1 = 5.990227$

   $4 < 4.66 < 5.990227$ なので、解は $(1,\ 1.1)$ の中にある。

3. 3

   挟む範囲を狭める。

   $f(1.03) = 4.511875, \qquad f(1.04) = 4.697449$

   目標の $4.66$ はこの 2 つの間にあるので、解は $(1.03,\ 1.04)$ にある。しかも $4.66$ は $4.512$ より $4.697$ に近いので、解は $1.04$ 寄りである。

4. 4

   二分法で必要な精度まで詰める。 区間を半分にする操作を繰り返せば（あるいは上の導関数を使ってニュートン法を適用すれば）

   $x \approx 1.038016$

   に収束する。

5. 5

   検算し、必要な精度を確認する。 $f(1.038016) = 4.660006$（小数第 6 位まで）である。一方 $f(1.038) = 4.659705$、$f(1.03805) = 4.660645$ なので、答えは有効数字 6 桁程度まで持つ必要がある。解の近くでは関数の値が $x$ の 1 単位あたりおよそ $18.8$ 変化するので、$x$ の $10^{-6}$ の誤差が $f$ では $2\times10^{-5}$ の誤差になるからである。