x^2 - 4y + 1 = 0 を y について解け。

Step-by-step solution

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   まず、$x^{2}-4y+1$ だけでは式であって方程式ではないことを確認する。 等号がなければ解くべきものも整理すべきものもない——$x^{2}$、$-4y$、$1$ の 3 項は互いに同類項ではないので、まとめることはできない。$0$ とおいて初めて解ける関係式になり、そのうえで $y$ について解け、というのが標準的な設問である。

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   他をすべて移項して $y$ の項を孤立させる。 両辺から $x^{2}$ と $1$ を引く。

   $-4y=-x^{2}-1$

   ここでマイナスを外に出さず $-4y$ のまま保っておくと、次の段階での符号ミスを避けられる。

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   両辺を $-4$ で割る。 負の数で割ると、右辺のすべての項の符号が変わる。

   $y=\frac{-x^{2}-1}{-4}=\frac{x^{2}+1}{4}$

   同じことを $y=\tfrac14x^{2}+\tfrac14$ とも書ける。2 つの符号のうち片方しか変えないと誤りになる——分数をまとめて一度に割るのが安全な理由である。

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   代入して確かめる。 $y=\frac{x^{2}+1}{4}$ とすると、左辺は

   $x^{2}-4\cdot\frac{x^{2}+1}{4}+1=x^{2}-(x^{2}+1)+1=0\ \checkmark$

   となり、当然そうあるべきとおりすべての $x$ について成り立つ。数値でも $x=-3$、$0$、$2.5$ において残差は計算機の精度の範囲で $0$ である ✓。

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   幾何的に読む。 $y=\tfrac14x^{2}+\tfrac14$ は下に凸の放物線で、頂点は $\left(0,\tfrac14\right)$、$y=x^{2}$ に比べて横方向に $2$ 倍引き伸ばされている。$y$ が 1 次でしか現れないので、元の方程式は $y$ を $x$ の正真正銘の関数として定めている——逆に $x$ について解くと $x=\pm\sqrt{4y-1}$ となり、こちらは関数ではない。