Gm ÷ d² = Gx ÷ d² を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   式変形が正当であるための条件を書き出す。 この方程式が意味を持つのは $d\neq 0$ のとき（そうでなければ両辺が定義されない）であり、後で $G$ で割るには $G\neq 0$ も必要になる。物理的に読めば——これはニュートンの重力場 $g=Gm/d^2$ を同じ距離で比べたものである——$G=6.674\times 10^{-11}$ は 0 でない定数なので、どちらの条件も自動的に満たされる。

2. 2

   同一の分母を払う。 両辺に $d^2$ を掛けると：

   $Gm=Gx$

   両辺の下に同じ $d^2$ があるので、1 回の掛け算で完全に消える。たすき掛けをする必要はない。

3. 3

   共通因数 $G$ で割る。

   $m=x$

   $G\neq 0$ が必要になるのはこの段階だけである。$m$ や $x$ を移項する操作は一切要らなかった——約分だけで、すでに孤立していたからである。

4. 4

   結果を解釈する。 距離 $d$ は完全に消えたので、この結論はどの距離でも成り立つ。すなわち、2 つの物体が同じ距離で同じ重力場を作るのは、質量が等しいとき、そのときに限る。したがって答えは $d$ にも $G$ にも依存しない。

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   代入して確かめる。 $x=m$ を戻すと両辺は文字どおり同じ式 $\dfrac{Gm}{d^2}$ になるので、方程式は満たされる。また $G\neq 0$ のもとで $Gm=Gx$ は $x=m$ を強制するので、これ以外の $x$ では満たされない。