方程式 x^2 - 15 = (x + 15)^2 の解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   右辺を展開する。

   $(x+15)^2 = x^2 + 30x + 225$

   よって方程式は $x^2 - 15 = x^2 + 30x + 225$ となる。

2. 2

   二次の項を打ち消す。 両辺にちょうど $x^2$ が 1 つずつあるので、$x^2$ を引けば完全に消える。

   $-15 = 30x + 225$

   したがってこの方程式は一次であり、解は 1 つしかない——両辺に平方があるので 2 つありそうに見えるにもかかわらず、である。

3. 3

   x について解く。

   $30x = -15 - 225 = -240 \quad\Longrightarrow\quad x = -8$

4. 4

   代入して確かめる。 左辺は $(-8)^2 - 15 = 64 - 15 = 49$。右辺は $(-8 + 15)^2 = 7^2 = 49$。どちらも $49$ になる。

5. 5

   幾何的に解釈する。 この方程式は、放物線 $y = x^2$ を下に $15$ 平行移動したものと、同じ放物線を左に $15$ 平行移動したものが、どこで交わるかを問うている。平行移動だけが違う合同な 2 つの放物線はちょうど 1 点で交わり——ここでは $(-8, 49)$ ——それが解が 1 つしかない構造上の理由である。