方程式 (x − 4)² = (3 − x)² の解を求めよ。

Step-by-step solution

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   展開せず、平方が等しい規則を使う。 実数について、

   $A^2=B^2\iff A=B\ \text{または}\ A=-B$

   である。両方の分枝を調べなければならない。$A=B$ だけを取るのが、解を落とす定番の経路である。

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   分枝 1：$x-4=3-x$。

   $x+x=3+4$

   $2x=7\ \Longrightarrow\ x=\frac{7}{2}$

3. 3

   分枝 2：$x-4=-(3-x)$。 マイナス符号を分配すると：

   $x-4=-3+x$

   両辺から $x$ を引くと

   $-4=-3$

   が残り、これはどの $x$ でも偽である。したがってこの分枝は解を与えない——図形的には、$y=x-4$ と $y=x-3$ は決して交わらない平行な直線である。

4. 4

   展開する道筋でも確かめる。 両辺を展開すると

   $x^2-8x+16=9-6x+x^2$

   となる。$x^2$ の項が打ち消し合って 1 次方程式 $-8x+16=9-6x$、すなわち $7=2x$ が残り、$x=\tfrac72$ ——同じ 1 つの解である。$x^2$ が打ち消し合うことこそ、分枝 2 が空だった理由である。

5. 5

   答えを確かめる。 $x=\tfrac72$ とすると：

   $\left(\tfrac72-4\right)^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$

   $\left(3-\tfrac72\right)^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$

   両辺とも $\tfrac14$ に等しいので、$x=\tfrac72$ が唯一の解である。