方程式 (1/3)(x − 3)² + (1/6)(x + 2)² = (x/2 − 1)(x/2 + 1) + (1/4)(x − 2)² を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   左辺を展開する。 $(x-3)^2=x^2-6x+9$、$(x+2)^2=x^2+4x+4$ なので、左辺は $\frac{1}{3}x^2-2x+3+\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$ となる。

2. 2

   左辺で同類項をまとめる。 $\frac13x^2+\frac16x^2=\frac12x^2$、$-2x+\frac23x=-\frac43x$、$3+\frac23=\frac{11}{3}$ である。左辺は $\frac12x^2-\frac43x+\frac{11}{3}$ となる。

3. 3

   和と差の積を使って右辺を展開する。 $\left(\frac12x-1\right)\left(\frac12x+1\right)=\frac14x^2-1$ であり、$\frac14(x-2)^2=\frac14x^2-x+1$ である。定数 $-1$ と $+1$ が消えるので、足すと $\frac12x^2-x$ となる。

4. 4

   2 次の項が一致することに気づく。 両辺ともちょうど $\frac12x^2$ を持つので、それを引くと 1 次方程式 $-\frac43x+\frac{11}{3}=-x$ が残る。この問題が次数の見た目より易しいのはこのためで、実は 1 次方程式なのである。

5. 5

   1 次方程式を解く。 両辺に $\frac43x$ を足すと $\frac{11}{3}=-x+\frac43x=\frac13x$ となる。$3$ を掛けて $x=11$ を得る。

6. 6

   $x=11$ を代入して確かめる。 左辺は $\frac13(8)^2+\frac16(13)^2=\frac{64}{3}+\frac{169}{6}=\frac{297}{6}=\frac{99}{2}$。右辺は $\left(\frac{9}{2}\right)\left(\frac{13}{2}\right)+\frac14(9)^2=\frac{117}{4}+\frac{81}{4}=\frac{198}{4}=\frac{99}{2}$。両辺はぴったり一致する。