方程式 (2x + 3)² − 4x² = 51 − 9x を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まだ解の公式に手を伸ばさない。 2 乗の括弧があるのでこの方程式は 2 次に 見える が、外側にある $-4x^2$ は括弧の中の先頭項をちょうど 2 乗したものである。それが分かるのは展開してみたときなので、まず括弧を展開する。

   $(2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 3+3^2=4x^2+12x+9$

2. 2

   代入して 2 次の項が消えるのを見る。 展開した式を左辺に戻すと

   $4x^2+12x+9-4x^2=12x+9$

   となる。$x^2$ の項が消えたので、問題全体が 1 次になる。

   $12x+9=51-9x$

3. 3

   $x$ の項を一方に、定数をもう一方に集める。 両辺に $9x$ を足し、同時に $9$ を引くと

   $12x+9x=51-9$

   $21x=42$

   となる。

4. 4

   $x$ の係数で割る。

   $x=\frac{42}{21}=2$

5. 5

   簡約後ではなく元の方程式で検算する。 打ち消しの手順こそ符号ミスが潜む場所なので、$x=2$ を出発点の式に代入し直す。

   $\text{左辺}=(2\cdot 2+3)^2-4\cdot 2^2=7^2-16=49-16=33$

   $\text{右辺}=51-9\cdot 2=51-18=33$

   両辺とも $33$ になるので、$x=2$ が確認できる。