不等式 (x + 1)(x − 4) ≤ 1/4 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず全部を片側に寄せる。 積の形がそのまま読めるのは 0 と比べているときだけで、ここでは右辺が $0$ ではなく $\tfrac14$ なので、左辺の因数分解された形はすぐには役に立たない。展開して整理する。

   $x^{2}-3x-4\le \frac14\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-3x-\frac{17}{4}\le 0$

2. 2

   分数を払う。 正の数 $4$ を掛けるので、不等号の向きは変わらない。

   $4x^{2}-12x-17\le 0$

3. 3

   解の公式で境界の値を求める。

   $x=\frac{12\pm\sqrt{144-4(4)(-17)}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{144+272}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{416}}{8}$

   $416=16\times 26$ なので $\sqrt{416}=4\sqrt{26}$ となり、

   $x=\frac{12\pm 4\sqrt{26}}{8}=\frac{3\pm\sqrt{26}}{2}$

4. 4

   凸の向きを使う。 $x^2$ の係数は $4>0$ なので放物線は下に凸であり、値が $\le 0$ となるのは 2 つの解の間である（等号を含む不等式なので端点も入る）。

   $\boxed{\frac{3-\sqrt{26}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{26}}{2}}$

5. 5

   小数で表し、点を代入して確かめる。 $\sqrt{26}\approx 5.0990$ なので、区間はおよそ $[-1.0495,\ 4.0495]$ である。中央付近の $x=1.5$ を試すと $(2.5)(-2.5)=-6.25\le 0.25$ ✓。$x=5$ を試すと $(6)(1)=6>0.25$ ✗ で、区間の外という予想どおりになる。

6. 6

   端点が「見た目の答え」にどれだけ近いかを見る。 因数分解された形につられて $-1\le x\le 4$ と答えたくなるが、それは $(x+1)(x-4)\le 0$ の解である。右辺の $\tfrac14$ が各端点を外側へ約 $0.05$ だけ押し広げている——わずかな差だが、厳密な端点は $-1$ と $4$ ではなく無理数である。