x/(10 + x) = 0.98 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   構造を見抜き、大きさを予想する。 左辺は全体に占める割合、すなわち $10+x$ のうちの $x$ である。この割合が $98\%$ だということは、固定分の $10$ が全体の $2\%$ にしかならないということなので、全体はおよそ $500$、$x$ はおよそ $490$ と見当がつく。先に見積もっておけば、計算そのものが自己検算になる。

2. 2

   小数を分数に直す。 ここでは厳密な分数のほうが小数より扱いやすい。

   $0.98=\frac{98}{100}=\frac{49}{50}$

   よって方程式は $\dfrac{x}{10+x}=\dfrac{49}{50}$ となる。あわせて定義域の制約 $x\neq-10$ にも注意しておく。

3. 3

   たすき掛けする。

   $50x=49(10+x)$

   解において $10+x\neq0$ なので、この変形は正当である。

4. 4

   展開して x の項を集める。

   $50x=490+49x\qquad\Longrightarrow\qquad 50x-49x=490\qquad\Longrightarrow\qquad x=490$

   係数どうしがほぼ打ち消し合って $1\cdot x$ が残る——最後に割り算が要らないのはそのためである。

5. 5

   代入して検算する。

   $\frac{490}{10+490}=\frac{490}{500}=0.98\ \checkmark$

   ステップ 1 の「およそ $490$」という見積もりとも合う ✓。

6. 6

   一般公式を押さえる。 $\dfrac{x}{a+x}=p$ の解は $x=\dfrac{ap}{1-p}$ である。ここでは $\dfrac{10(0.98)}{0.02}=\dfrac{9.8}{0.02}=490$ ✓。分母の $1-p$ があるために、目標の割合が $100\%$ に近づくと答えが発散する。