x/(10 + x) = 0.97 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   式を「全体に占める割合」として読む。 $10+x$ のうち $x$ が $97\%$ を占めるということは、固定分の $10$ が残りの $3\%$ にあたる。ここから全体はおよそ $\tfrac{10}{0.03}\approx333$、$x$ はおよそ $323$ と即座に見積もれる。

2. 2

   分数に直し、定義域を確認する。

   $0.97=\frac{97}{100}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{x}{10+x}=\frac{97}{100},\qquad x\neq-10$

   $97$ は素数なので、この分数はすでに既約である——約分できる $0.98=\tfrac{49}{50}$ とはここが違う。

3. 3

   たすき掛けする。

   $100x=97(10+x)$

4. 4

   展開して整理する。

   $100x=970+97x\qquad\Longrightarrow\qquad 3x=970$

   係数 $3=100-97$ は、不足している 3 パーセント分を百分率のまま表したものである。

5. 5

   割ると、小数が循環する。

   $x=\frac{970}{3}=323.\overline{3}\approx323.33$

   $3$ は $970$ を割り切らず、また $2$ と $5$ だけからできてもいないので、厳密な分数のほうが答えとしてふさわしい。$100-98=2$ が割り切れて整数 $490$ を与える $0.98$ の場合とは、ここが構造的に異なる。

6. 6

   厳密な計算で検算する。

   $\frac{970/3}{10+970/3}=\frac{970/3}{1000/3}=\frac{970}{1000}=0.97\ \checkmark$

   さらに閉じた形 $x=\dfrac{ap}{1-p}=\dfrac{10(0.97)}{0.03}=\dfrac{9.7}{0.03}=323.\overline{3}$ とも一致する ✓。