方程式 x − 1/x = 3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   掛ける前に定義域の制限を書き留める。 項 $\tfrac1x$ には $x\neq0$ が必要である。これを今記録しておくことが効いてくる：両辺に $x$ を掛ける操作が可逆なのは $x\neq0$ のときだけであり、もし $0$ になる解が出てきたら無縁解として捨てなければならない。

2. 2

   分母を払う。 すべての項に $x$ を掛ける：

   $x\cdot x-x\cdot\frac{1}{x}=3x\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}-1=3x$

   $x\cdot\tfrac1x=1$ なので、中央の項はちょうど $-1$ になる。右辺の $3$ も含め、すべての項に掛けなければならない。

3. 3

   標準形に整理する。 両辺から $3x$ を引く：

   $x^{2}-3x-1=0$

   よって $a=1$、$b=-3$、$c=-1$ である。

4. 4

   解の公式を適用する。

   $x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

   判別式 $13$ は正だが平方数ではないので、相異なる 2 つの無理数解があり、整数の範囲での因数分解は存在しない。

5. 5

   どちらの解も除外されないことを確かめる。 数値では $x\approx3.3028$ と $x\approx-0.3028$ であり、どちらも $0$ ではないので定義域の制限を通る。それぞれを元の方程式 $x-\tfrac1x$ に代入すると $10^{-12}$ の範囲で $3$ になる ✓ ——分母を払った式ではなく元の式で確かめることが、無縁解を捕まえる手立てである。

6. 6

   解と係数の関係で裏づける。 2 解の和は $-b/a=3$ になるはずである：$\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}+\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}=3$ ✓。積は $c/a=-1$ になるはずである：$\dfrac{9-13}{4}=-1$ ✓。積が $-1$ であることは、2 つの解が互いに符号を変えた逆数になっていることも意味する——$x-\tfrac1x$ という形から来る、きれいな帰結である。