1/(x − 2) + 2/(x + 2) = 3/(x² − 4) を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   右辺の分母を因数分解し、除外値を書き留める。 $x^2-4=(x-2)(x+2)$ なので、3 つの分母はどれも同じ 2 つの因数からできており、最小公分母は $(x-2)(x+2)$ である。$x=2$ と $x=-2$ は分母を 0 にするので決して解になりえない。答えが出たら最後に必ずこの 2 つと照らし合わせる。

2. 2

   左辺の 2 つの分数をまとめる。 それぞれを共通分母で書き直す。

   $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{(x+2)+2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

3. 3

   分子を整理する。

   $(x+2)+2(x-2)=x+2+2x-4=3x-2$

   したがって方程式はいま

   $\frac{3x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{3}{(x-2)(x+2)}$

   である。

4. 4

   分子どうしを等しいと置く。 分母は同一であり、許される $x$ に対して 0 ではないので、2 つの分数が等しいのは分子が等しいときに限る。

   $3x-2=3\quad\Rightarrow\quad 3x=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{3}$

5. 5

   除外値と照らし合わせ、代入して確かめる。 $\frac53\neq 2$ かつ $\frac53\neq -2$ なので、この解は許される。代入すると左辺は $\frac{1}{5/3-2}+\frac{2}{5/3+2}=-3+\frac{6}{11}=-\frac{27}{11}$、右辺は $\frac{3}{25/9-4}=\frac{3}{-11/9}=-\frac{27}{11}$ となって一致する。よって $x=\frac53$ である。