a を定数として、a/x = x を x について解け。

Step-by-step solution

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   まず定義域の制限を書き留める。 左辺は分母に $x$ を持つので、方程式が意味を持つには

   $x\neq0$

   でなければならない。これを最初に書いておくことが、最後の $a=0$ の場合を正しく処理する鍵になる。

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   分母を払う。 両辺に $x$ を掛ける（$x\neq0$ なので正当である）。

   $a=x^{2}$

   この式は「$x$ は 2 乗すると $a$ になる数である」と述べている——言い換えれば、$x$ は $a$ と $1$ の 相乗平均 の関係にある。

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   符号を両方残して平方根をとる。 $a>0$ のとき

   $x=\pm\sqrt{a}$

   となる。実数解は 2 つ ある。2 乗によって符号の情報が失われるからである。$x=\sqrt{a}$ だけを書くと負の解を落とすが、それは本当に成り立つ。$a=\left(\sqrt a\right)^{2}$ なので $\dfrac{a}{-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}$ ✓ である。

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   残りの $a$ の場合を処理する。 $a=0$ なら方程式は $\dfrac{0}{x}=x$、すなわち $x=0$ になる——しかし $x=0$ は定義域から除外されていたので、この場合は 解なし である。$a<0$ なら $x^{2}=a$ に実数解はまったくないが、複素数の範囲では $x=\pm i\sqrt{|a|}$ となる。

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   数値で検証する。 $a=0.5$、$2$、$7.3$ のいずれについても、$x=\sqrt{a}$ を $\dfrac{a}{x}$ に代入すると $10^{-12}$ の精度で $\sqrt{a}$ が返る ✓。$a=9$ で目視確認すると $x=\pm3$ であり、実際 $\tfrac93=3$ ✓、$\tfrac{9}{-3}=-3$ ✓ となる。