連立方程式 3x + 2y = 12、x − y = 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   変形の手間が最も小さい式を選ぶ。 第 2 式は $x$ の係数が $1$ なので、そこで変数を孤立させても分数は出ない：

   $x - y = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = y + 1$

   もう一方の式を選ぶと、ただちに $3$ で割ることになり、計算全体を通して 3 分の 1 を引きずることになる。

2. 2

   第 1 式に代入する。 $x$ を $y + 1$ に置き換えれば、2 変数の問題が 1 変数の問題になる：

   $3(y + 1) + 2y = 12$

3. 3

   展開して同類項をまとめる。

   $3y + 3 + 2y = 12$

   $5y + 3 = 12$

   $5y = 9 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{9}{5}$

   答えが整数でないのは普通のことである：$5$ は $9$ を割り切らず、問題のどこにも整数解になるという約束は無い。

4. 4

   後退代入で x に戻す。 $x = y + 1$ を、分母を $5$ に揃えて使うと：

   $x = \frac{9}{5} + 1 = \frac{9}{5} + \frac{5}{5} = \frac{14}{5}$

5. 5

   元の 2 式で検証する。 解は連立全体を満たさねばならず、最後に触った式だけでは足りない：

   $3\left(\frac{14}{5}\right) + 2\left(\frac{9}{5}\right) = \frac{42}{5} + \frac{18}{5} = \frac{60}{5} = 12 \ \checkmark$

   $\frac{14}{5} - \frac{9}{5} = \frac{5}{5} = 1 \ \checkmark$

   したがって 2 直線は 1 点 $\left(\tfrac{14}{5}, \tfrac95\right) = (2.8,\, 1.8)$ で交わる。