不等式 (1.5 + 0.1x)(800 − 20x) − 0.9(800 − 20x) ≥ 720 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   繰り返し現れるかっこを見つけてくくり出す。 左辺の 2 つの項はどちらも $(800-20x)$ を含むので、2 度展開する代わりにこれをくくり出す：

   $\left(800-20x\right)\left[\left(1.5+0.1x\right)-0.9\right]=\left(800-20x\right)\left(0.6+0.1x\right).$

   元の設定では、$(1.5+0.1x)-0.9$ が 1 個あたりの利益、$(800-20x)$ が売れる個数にあたる。

2. 2

   積を展開する。

   $\left(0.6+0.1x\right)\left(800-20x\right)=480-12x+80x-2x^{2}=-2x^{2}+68x+480.$

3. 3

   すべてを一方に移す。

   $-2x^{2}+68x+480\ge 720\ \Longrightarrow\ -2x^{2}+68x-240\ge 0.$

4. 4

   −2 で割って不等号を反転させる。 不等式を負の数で割ると向きが反転する——ここが最も忘れられやすい段階である：

   $x^{2}-34x+120\le 0.$

5. 5

   解を求めて区間を読み取る。

   $x=\frac{34\pm\sqrt{1156-480}}{2}=\frac{34\pm\sqrt{676}}{2}=\frac{34\pm 26}{2}=4\ \text{または}\ 30.$

   下に凸の放物線が $\le 0$ になるのは 2 解の間なので、

   $4\le x\le 30.$

6. 6

   端点と内部の 1 点を抜き取って確かめる。 $x=4$ では $(1.9)(720)-0.9(720)=(1.0)(720)=720$ で、ちょうど閾値である ✓。$x=17$（頂点）では $(3.2)(460)-0.9(460)=(2.3)(460)=1058\ge 720$ ✓。$x=31$ では $(4.6)(180)-0.9(180)=(3.7)(180)=666<720$ となり、正しく範囲外である。