−1 ≤ x + y ≤ 4 かつ 2 ≤ x − 6y ≤ 3 のとき、z = 6x − 8y の値の範囲を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   x と y を別々に評価しようとしてはいけない。 各変数を単独で評価してから組み直すと、2 つの条件が結びついているために範囲をつねに広く見積もってしまう。正しい方法は、目的の式を与えられた 2 つの式の一次結合として表すことである。

2. 2

   一次結合を立てる。 次を満たす定数 $\alpha,\beta$ を探す。

   $6x-8y=\alpha(x+y)+\beta(x-6y).$

   係数を比較すると連立方程式

   $\alpha+\beta=6\ (\text{係数 }x),\qquad \alpha-6\beta=-8\ (\text{係数 }y).$

   が得られる。

3. 3

   重みを求める。 1 つ目の式から 2 つ目の式を引くと

   $7\beta=14\ \Longrightarrow\ \beta=2,\qquad \alpha=6-2=4.$

   検算：$4(x+y)+2(x-6y)=4x+4y+2x-12y=6x-8y$ ✓。

4. 4

   与えられた各区間をその重みで拡大する。 どちらの重みも正なので、不等号の向きはそのまま保たれる。

   $-1\le x+y\le 4\ \Longrightarrow\ -4\le 4(x+y)\le 16,$
   $2\le x-6y\le 3\ \Longrightarrow\ 4\le 2(x-6y)\le 6.$

   もし重みが負になっていたら、足す前にその不等式を裏返さねばならない。この方法の定番の落とし穴である。

5. 5

   評価した 2 つの区間を足す。

   $-4+4\le z\le 16+6\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 22.$

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   両端が実際に達成できることを確かめる。 端の値は、2 つの条件がともに極端な値をとるときに実現する。$x+y=-1$ かつ $x-6y=2$ とすると $x=-\tfrac47$、$y=-\tfrac37$ となり、$z=6(-\tfrac47)-8(-\tfrac37)=-\tfrac{24}{7}+\tfrac{24}{7}=0$ である。$x+y=4$ かつ $x-6y=3$ とすると $x=\tfrac{27}{7}$、$y=\tfrac17$ となり、$z=\tfrac{162}{7}-\tfrac{8}{7}=\tfrac{154}{7}=22$ である。両端とも達成されるので、範囲はちょうど $[0,22]$ である。