不等式 4(x + 1) ≥ x + 2(x − 1) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺をそれぞれ独立に展開する。 比べる前にまず分配する：

   $4(x+1)=4x+4,\qquad x+2(x-1)=x+2x-2=3x-2.$

   右辺では $2$ がかっこにしか掛かっておらず、先頭の $x$ は別の項である。

2. 2

   両辺を整理した不等式を書き直す。

   $4x+4\ge 3x-2.$

3. 3

   x の項を片側に集める。 両辺から $3x$ を引く：

   $x+4\ge -2.$

   同じ量を足し引きしても、不等号の向きは決して変わらない。

4. 4

   x を単独にする。 $4$ を引く：

   $x\ge -6.$

5. 5

   なぜ向きが変わらなかったかを確かめる。 向きが反転するのは、負の数を掛けたり割ったりしたときだけである。ここではどの段階も足し算か引き算だったので、$\ge$ は最後まで $\ge$ のままだった。

6. 6

   内側と外側から 1 つずつ値を試す。 $x=0$ のとき $4(1)=4$、$0+2(-1)=-2$ で $4\ge -2$ ✓。$x=-10$ のとき $4(-9)=-36$、$-10+2(-11)=-32$ で $-36\ge -32$ は成り立たない ✓。境界の $x=-6$ では $-20\ge -20$ が成り立つので、これは解に含まれる。