不等式 1 − x/3 ≤ 1 − 2x/7 を解き、解集合を数直線上に表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺に現れる定数を消す。 各辺から $1$ を引く操作は不等式でも正当であり（足し引きは向きを変えない）、定数がただちに消える： $-\frac{x}{3}\le-\frac{2x}{7}.$ 先に分母を払ってもよいが、$1$ を消しておくほうが数を小さく保てる。

2. 2

   $x$ の項を一方に集める。 両辺に $\dfrac{2x}{7}$ を足す： $-\frac{x}{3}+\frac{2x}{7}\le 0.$ 右辺ではなく左辺に集めておくと、後で無駄な符号の変換をせずに済む。

3. 3

   共通分母 $21$ で通分する。 $\operatorname{lcm}(3,7)=21$ なので、 $-\frac{7x}{21}+\frac{6x}{21}\le 0\quad\Longrightarrow\quad -\frac{x}{21}\le 0.$ 2 つの分数はほとんど打ち消し合い、係数 $-\tfrac{1}{21}$ がひとつ残る。

4. 4

   負の係数で割り、不等号を反転させる。 両辺に $-21$ を掛けると不等号が反転する： $-\frac{x}{21}\le 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 0.$ 向きが変わるのはこの段階だけであり、これを忘れるのが典型的な誤りである——誤答 $x\le 0$ が出てしまう。

5. 5

   値を代入して確かめる。 $x=7$ では左辺が $1-\tfrac73=-1.3\overline{3}$、右辺が $1-2=-1$ で、$-1.333\le-1$ は成り立つ。$x=-7$ では左辺が $1+\tfrac73=3.3\overline{3}$、右辺が $1+2=3$ で、$3.333\le 3$ は偽である。したがって、主張どおり非負の $x$ は解になり、負の $x$ はならない。$x=0$ では両辺とも $1$ に等しいので、端点は含まれる。

6. 6

   数直線の図を述べる。 $0$ に黒丸（塗りつぶした点）を打って $0$ 自身が解であることを示し、そこから右へ $+\infty$ に向かう半直線を塗る。区間の記法では、解集合は $[0,+\infty)$ である。