入れ子になった絶対値の方程式を解け：（x の絶対値から 4 を引いたもの）の絶対値が 5 に等しい。

Step-by-step solution

1. 1

   まず外側の絶対値を外す。 任意の式 $A$ について、$|A|=5$ は $A=5$ または $A=-5$ を意味する。ここでは $A=|x|-4$ をひとつの塊として扱う：

   $|x|-4=5\qquad\text{または}\qquad |x|-4=-5.$

   外側からではなく内側から外そうとすることが、入れ子の絶対値をややこしくしている原因である。

2. 2

   第 1 の分枝を解く。

   $|x|-4=5\ \Longrightarrow\ |x|=9\ \Longrightarrow\ x=9\ \text{または}\ x=-9.$

3. 3

   第 2 の分枝を解く。

   $|x|-4=-5\ \Longrightarrow\ |x|=-1.$

   絶対値は原点からの距離なので決して負にならず、この分枝は解を与えない。行き止まりの分枝を早く見抜けば、そこからさらに場合分けする手間が省ける。

4. 4

   残った解をまとめる。

   $x=9\quad\text{または}\quad x=-9.$

5. 5

   両方を元の方程式で検算する。 $x=9$ では $\bigl||9|-4\bigr|=|9-4|=|5|=5$ ✓。$x=-9$ では $\bigl||-9|-4\bigr|=|9-4|=5$ ✓。どちらも確認できたので、解集合は $\{-9,9\}$ である。