方程式 |x| + |x - 1| = |x - 2| + |x - 3| を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   折れ点を求めて数直線を分ける。 それぞれの絶対値は中身が 0 になる $x=0,1,2,3$ で式が切り替わる。これらが実数直線を 5 つの区間に切り分け、各区間ではすべての記号を符号を確定して外せる。

2. 2

   計算の前に方程式の意味を読む。 左辺は $x$ から $0$ までと $1$ までの距離の合計、右辺は $2$ までと $3$ までの距離の合計である。組 $\{2,3\}$ は組 $\{0,1\}$ の完全に右側にあるので、解は真ん中あたりにあると見込める——この読み方は、解がちょうど 1 つであることも予告している。

3. 3

   外側の 3 区間を処理する。 $x\le 0$ では $(-x)+(1-x)=(2-x)+(3-x)$ から $1-2x=5-2x$ となり矛盾する。$2\le x\le 3$ では $x+(x-1)=(x-2)+(3-x)$ から $2x-1=1$、すなわち $x=1$ だが、これは $[2,3]$ に 入っていない ので棄却される。$x\ge 3$ では $2x-1=2x-5$ となり、これも矛盾する。

4. 4

   区間 0 ≤ x ≤ 1 を処理する。 ここでは $|x|=x$、$|x-1|=1-x$、$|x-2|=2-x$、$|x-3|=3-x$ なので

   $x+(1-x)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 1=5-2x\ \Longrightarrow\ x=2,$

   となるが、これは $[0,1]$ の外なので棄却される。候補はつねに、それを生んだ区間に照らして確かめること。多くの解答が崩れるのはここである。

5. 5

   区間 1 ≤ x ≤ 2 を処理する。 今度は $|x|=x$、$|x-1|=x-1$、$|x-2|=2-x$、$|x-3|=3-x$ なので

   $x+(x-1)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 2x-1=5-2x\ \Longrightarrow\ 4x=6\ \Longrightarrow\ x=\tfrac32,$

   となり、$\tfrac32$ は確かに $[1,2]$ に入るので採用される。

6. 6

   元の方程式で解を確かめる。 $x=\tfrac32$ のとき左辺は $\tfrac32+\tfrac12=2$、右辺は $\tfrac12+\tfrac32=2$ ✓。したがって唯一の解は $x=\tfrac32$ ——2 つの組のちょうど中点であり、距離としての読み方が示唆したとおりである。