グラフは連立 y = 2/(x − 2) − 1、y = 2|x − 2| − 4 を表している。完全な解となる点の集合は次のどれか：(4,0)；(0,0) と (4,0)；(0,0)、(0,−2) と (4,0)；(0,−2) と (4,0)。

Step-by-step solution

1. 1

   共通の平行移動を利用するため u = x - 2 と置換する。 どちらの曲線も $x=2$ を中心に組み立てられているので、この置換で両方からそれが消える：

   $\frac{2}{u}-1=2|u|-4\quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{u}+3=2|u|,\qquad u\neq 0.$

   制限 $u\neq 0$（すなわち $x\neq 2$）は、1 つめの曲線の垂直漸近線から来ている。

2. 2

   u の符号で場合分けする。まず u > 0 の場合。 このとき $|u|=u$ であり、$u>0$ を両辺に掛けても等式は保たれる：

   $2+3u=2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}-3u-2=0\ \Longrightarrow\ (2u+1)(u-2)=0.$

   解は $u=2$ と $u=-\tfrac12$ だが、$u>0$ をみたすのは $u=2$ だけであり、$x=4$ が得られる。

3. 3

   u < 0 の場合。 このとき $|u|=-u$ であり、負の $u$ を掛けても、方程式では向きが変わるものは何もない：

   $2+3u=-2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}+3u+2=0.$

   判別式は $9-16=-7<0$ なので実数解はなく、この場合からは何も得られない。

4. 4

   生き残った解の y 座標を求める。 $x=4$ のとき：

   $y=\frac{2}{4-2}-1=1-1=0,\qquad y=2|4-2|-4=4-4=0.$

   どちらの曲線も $y=0$ を与えるので、$(4,0)$ は本当に両方の上にある。

5. 5

   紛らわしい選択肢の点を試す。 $x=0$ のとき、1 つめの曲線は $y=\tfrac{2}{-2}-1=-2$ を与え、2 つめは $y=2(2)-4=0$ を与える。つまり $(0,0)$ は絶対値のグラフの上にしかなく、$(0,-2)$ は分数関数のグラフの上にしかない。どちらも連立の解ではない。まさにそこが罠である。一方の曲線の上にある点は、両方の上にないかぎり解ではない。

6. 6

   完全な解を述べる。 この連立の解はちょうど 1 つ、$(4,0)$ である。