方程式 |x| + |x − 1| = 1 を解け。

Step-by-step solution

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   左辺を距離の合計として読む。 $|x|$ は $x$ から $0$ までの距離、$|x-1|$ は $x$ から $1$ までの距離である。この方程式は、$0$ までの距離と $1$ までの距離の和が $1$ になる点を問うている——そして $1$ は、ちょうどその 2 点の間隔そのものである。

2. 2

   3 つの場合に分ける。 臨界点 $0$ と $1$ が数直線を 3 つの領域に分ける。

   場合 $x<0$： $|x|=-x$、$|x-1|=1-x$ なので方程式は $-x+1-x=1$、すなわち $-2x=0$ となり $x=0$ ——これは $x<0$ に反する。この領域に解は無い。

3. 3

   場合 0 ≤ x ≤ 1。 ここでは $|x|=x$、$|x-1|=1-x$ なので

   $x+(1-x)=1$

   となる。これは恒等式であり、区間内のすべての $x$ で成り立つ。したがって $[0,1]$ 全体が方程式を満たす。

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   場合 x > 1。 ここでは $|x|=x$、$|x-1|=x-1$ なので $x+x-1=1$、すなわち $2x=2$ で $x=1$ ——これは $x>1$ に反する。この領域にも解は無い。

5. 5

   解集合をまとめる。

   $\boxed{0\le x\le 1,\ \text{すなわち }x\in[0,1]}$

   答えは有限個の列挙ではなく区間である——絶対値の方程式は孤立した解を持つのが普通なので、ここは強調に値する点である。

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   端点と内部の点で確かめる。 $x=0$ では $0+1=1$ ✓。$x=1$ では $1+0=1$ ✓。$x=0.3$ では $0.3+0.7=1$ ✓。外側では、$x=2$ で $2+1=3\neq 1$ ✗、$x=-1$ で $1+2=3\neq 1$ ✗。これは三角不等式 $|x|+|x-1|\ge|x-(x-1)|=1$ とも整合し、等号が成り立つのはちょうど $[0,1]$ 上である。